2026美赛A题分析及其相关文档：智能手机电池耗尽时间预测

2026 年美国大学生数学建模竞赛（MCM）A 题要求参赛者建立一个连续时间的智能手机电池模型，输出荷电状态（State of Charge，SOC）随时间的变化，并据此预测不同使用场景下的剩余续航时间（Time-to-Empty，TTE）。

这道题看起来像是“预测手机多久没电”，但真正的难点并不是拟合一条电量曲线，而是解释：

  • 手机正在运行什么任务，功耗如何随时间变化；
  • 电池为何在低温、高负载和低电量时表现不同；
  • 用户行为存在随机性时，续航预测应如何给出置信区间；
  • 如何把模型结论转化为用户和操作系统都能执行的省电策略。

本文主要介绍我们在开源仓库中采用的建模思路，不展开论文中的全部推导。完整代码、LaTeX 源文件和最终 PDF 均已公开。

项目仓库：wangling-miao/2026MCM-ICMProblemA
官方题目：2026 MCM Problem A: Modeling Smartphone Battery Drain
最终论文：final/2612876.pdf
LaTeX 源文件：final/2612876.tex

多种手机锂离子电池

图 1：手机使用的锂离子电池。图片来源：Phrontis / Wikimedia Commons，CC BY-SA 3.0。

一、题目究竟要求什么

官方题目明确强调：模型必须以连续时间方程或方程组为核心，不能仅依靠离散曲线拟合、时间步回归或没有物理解释的黑箱机器学习模型。

因此，最基本的输出不是某个时刻的“预测电量”，而是一个连续状态轨迹：

$$ SOC(t),\qquad t\ge 0 $$

剩余续航时间则可以理解为 SOC 或端电压首次触及关机阈值的时刻：

$$ TTE=\inf{t>0:SOC(t)\le SOC_{\min}\ \text{或}\ V_t\le V_{cut}} $$

题目还要求比较不同初始电量、使用场景、温度和电池老化程度，量化不确定性，进行敏感性分析，并给出面向用户与操作系统的建议。

换句话说，一个完整解法至少需要回答四件事：

  1. 手机在每个时刻消耗多少功率；
  2. 功率如何转换为电池电流和 SOC 变化；
  3. 温度、极化和老化如何影响实际可用容量；
  4. 用户未来行为不确定时，续航时间的概率分布是什么。

二、总体思路：不要直接预测电量，而要模拟“耗电过程”

我们采用的是一条由上至下的模型链：

用户使用场景
    ↓
屏幕、CPU、网络、GPS、后台任务等功耗分解
    ↓
总负载功率 P_total(t)
    ↓
电池电流 I(t)
    ↓
SOC、极化电压、温度与老化状态的连续时间演化
    ↓
端电压观测与 EKF 修正
    ↓
首次到达关机阈值，得到 TTE
    ↓
蒙特卡洛重复仿真，得到概率分布与置信区间

这条路线的优点是每一层都有明确含义。模型预测错误时，可以判断问题来自用户行为、功耗参数、电池参数还是状态估计，而不是只得到一个无法解释的误差值。

三、第一层：把手机总功耗拆开

手机功耗不是一个固定常数。最直观的做法是按硬件和软件组件进行分解：

$$ P_{total}(t)=P_{screen}(t)+P_{CPU}(t)+P_{net}(t)+P_{GPS}(t)+P_{bg}(t)+P_{AI}(t) $$

其中：

  • 屏幕功耗受亮度、刷新率和显示内容影响；
  • CPU/GPU 功耗随游戏、视频解码和计算任务变化；
  • 网络功耗取决于 Wi-Fi、4G/5G、信号质量和数据传输状态；
  • GPS 与后台定位会形成持续负载；
  • 后台同步、推送和常驻服务会造成看似待机时的隐性耗电；
  • 端侧 AI 推理可以作为独立组件加入模型。

用隐马尔可夫模型描述用户行为

用户不会永远保持同一种状态。一个人可能先刷视频，再回复消息，随后锁屏待机。为了描述这种随机切换，我们将用户状态写为：

$$ S_t\in{\text{待机、社交、视频、游戏、导航、通话}} $$

并使用隐马尔可夫模型（HMM）或连续时间马尔可夫链描述状态转移。每种状态对应一组功耗分布，而转移矩阵决定用户下一阶段更可能进入什么场景。

这一步使负载不再是一条人工指定的固定曲线，而是具有统计规律的随机过程。相同的初始电量也可能产生不同 TTE，这正是后续不确定性量化的基础。

四、第二层：二阶 RC 等效电路描述电池动态

只用库仑计量法可以得到最简单的 SOC 方程：

$$ \frac{dSOC}{dt}=-\frac{\eta I(t)}{Q_{eff}} $$

其中 $I(t)$ 为放电电流，$Q_{eff}$ 为当前有效容量，$\eta$ 为库仑效率。

但真实电池在负载突变后会出现瞬时压降和缓慢恢复，仅靠 SOC 无法描述这种极化现象。因此，仓库中的主体模型采用二阶 RC 等效电路，引入两组不同时间尺度的极化支路：

$$ \frac{dV_1}{dt}=-\frac{V_1}{R_1C_1}+\frac{I}{C_1} $$

$$ \frac{dV_2}{dt}=-\frac{V_2}{R_2C_2}+\frac{I}{C_2} $$

端电压为：

$$ V_t=OCV(SOC)-I R_0-V_1-V_2 $$

这里的 $R_0$ 表示欧姆内阻，$V_1$ 与 $V_2$ 分别描述快速和慢速极化。手机负载突然增大时，端电压可能先触及关机阈值，即使 SOC 尚未完全耗尽，这也是高负载场景续航骤降的重要原因。

锂离子电池二阶等效电路模型

图 2：锂离子电池二阶 RC 等效电路。图片来源：Triv97 / Wikimedia Commons，CC0。

从功率反推电流

手机侧更容易估计的是功率，而电池状态方程需要电流。两者通过

$$ P_{total}(t)=V_t I(t) $$

联系起来。由于 $V_t$ 本身又受电流和极化状态影响，实际求解时需要联立端电压方程，或在每个连续积分区间内迭代求解 $I(t)$。这比简单使用“功率除以固定 3.7 V”更符合低电量和高负载下的实际情况。

五、第三层：温度与老化反馈

1. 热模型

持续高负载会产生焦耳热，环境又会通过散热影响电池温度。可以使用集总热模型：

$$ C_{th}\frac{dT}{dt}=I^2R_0+Q_{rxn}-hA(T-T_{amb}) $$

温度反过来影响内阻和极化参数。仓库使用 Arrhenius 型关系对参数进行温度修正，使模型能够解释低温时内阻升高、有效容量下降以及高负载发热等现象。

2. 老化模型

电池老化主要体现为有效容量下降和内阻上升。我们采用与 SEI 膜生长相关的 $\sqrt{t}$ 型规律描述缓慢退化，并将循环次数、温度和负载历史映射为状态健康度（SOH）：

$$ Q_{eff}=Q_n\cdot SOH $$

$$ R_0=R_{0,ref}\left(1+\Delta R_{aging}\right) $$

老化并不是独立的常数修正，而是会改变后续每一次放电过程中的容量、电压降和发热。

锂离子电池充放电原理

图 3：锂离子电池充放电过程示意。图片来源：Walter Davison / Wikimedia Commons，CC BY-SA 4.0。

六、第四层：随机微分方程与状态修正

即使给定相同使用场景，实际功耗仍会受到任务调度、信号波动、温度测量误差和后台活动影响。因此，可以在确定性状态方程上加入随机扰动：

$$ dSOC_t=-\frac{\eta I_t}{Q_{eff}}dt+\sigma_{SOC}dW_t $$

其中 $W_t$ 为 Wiener 过程，$\sigma_{SOC}$ 控制未建模扰动的强度。类似噪声也可以加入功率、温度或状态转移过程。

随机项不是为了让模型显得复杂，而是为了避免给出虚假的单点精确答案。实际输出应更接近：

当前条件下预计还能使用 4.2 小时，90% 的模拟结果落在 3.7～4.8 小时之间。

EKF：用端电压不断纠正 SOC

仅靠电流积分会逐渐累积误差，因此模型使用扩展卡尔曼滤波（EKF），将端电压观测与非线性状态方程结合，实时修正 SOC、极化电压等隐藏状态。

其逻辑可以概括为：

  1. 根据上一时刻状态和当前负载预测下一状态；
  2. 由预测状态计算端电压；
  3. 将预测电压与真实观测电压比较；
  4. 根据卡尔曼增益修正 SOC 和极化状态；
  5. 将修正结果作为下一次预测的起点。

仓库 README 同时列出了物理信息神经网络（PINN）作为可扩展的状态估计方法，但主体思路仍以显式物理方程和可解释状态空间模型为核心，而不是让神经网络取代连续时间模型。

七、如何得到 TTE 的概率分布

确定所有参数后，可以从当前状态开始向前积分，直到 SOC 或端电压达到关机阈值。一次仿真得到一个 TTE；重复抽取用户状态序列、负载扰动和参数误差，即可进行蒙特卡洛模拟：

for k = 1 ... N:
    抽取一条未来用户行为路径
    抽取功耗与电池参数扰动
    求解连续时间状态方程
    记录首次达到关机阈值的时间 TTE_k

输出均值、中位数、分位数和 90% 置信区间

这种方法能够回答两个不同问题：

  • 在平均意义上，手机还能使用多久；
  • 在较保守的情况下，用户至少还能使用多久。

对导航、移动支付或应急通信等场景，第二个问题往往更有实际价值。

八、仓库中的主要仿真结论

下面的数据来自该仓库当前参数配置和仿真结果，不能直接视为所有手机的通用结论，但可以说明模型能够解释哪些现象。

1. 游戏模式是最明显的续航杀手

高 CPU/GPU 负载不仅增加平均功率，还会通过 $I^2R$ 增大发热和压降。在仓库的场景设置中，游戏模式的续航约为待机模式的十分之一。

2. 低温比单纯的内阻变化更值得关注

低温会同时影响内阻、反应动力学和有效容量。仿真中，$-10\ ^\circ\mathrm{C}$ 条件下的续航可能缩短 28% 以上。这里的具体比例取决于参数，但“低温造成多因素共同恶化”这一机制具有清晰解释。

3. 用户感知到的“不耐用”不一定主要来自化学老化

当前仓库的老化参数下，500 次循环后的 SOH 仍约为 99.8%，对单次续航的影响小于应用功耗持续增长带来的影响。这个结果并不意味着现实中所有电池 500 次循环后都只衰减 0.2%，而是提示我们必须区分：

  • 电池化学容量下降；
  • 新版本应用和后台服务变得更耗电；
  • 低温、弱信号和高亮度造成的场景性损失。

4. 容量与平均功率最敏感

灵敏度分析显示，额定容量 $Q_n$ 和平均负载功率 $P_{avg}$ 是影响 TTE 的主要因素。内阻 $R_0$ 在常温、正常电量下影响相对较小，但在低温、低 SOC 或突发高负载时会迅速变得重要。

九、从模型推导出的省电建议

模型的价值不仅在于输出一个时间，还在于说明“改什么最有效”。

对普通用户

  • 优先降低长时间高亮度和高刷新率带来的屏幕负载；
  • 在弱信号环境下避免持续使用高功率蜂窝网络；
  • 不需要导航时关闭持续定位和高频 GPS 更新；
  • 检查异常活跃的后台同步、推送和常驻服务；
  • 低温环境中尽量让手机保持在适宜温度，而不是单纯依赖软件省电；
  • 剩余电量较低时避免突然启动大型游戏或高负载拍摄任务。

对操作系统

操作系统可以根据模型做更主动的功耗控制：

  • 根据预测的 TTE 动态调整刷新率、CPU/GPU 频率和后台任务优先级；
  • 将弱信号、低温和低 SOC 共同作为高风险状态，而不是分别判断；
  • 给出带置信区间的续航预测，避免显示看似精确但频繁跳变的数字；
  • 学习用户的状态转移规律，在即将进入高负载场景前提前调整资源；
  • 以“延长首次触及关机阈值的时间”为目标，而不只是降低瞬时功率。

十、如何运行仓库代码

项目主要使用 Python，仓库中还包含少量 MATLAB 与完整 LaTeX 文档。基础依赖可以通过以下命令安装：

pip install numpy pandas matplotlib scipy

在项目根目录运行：

python code/run_complete_workflow.py

主脚本会依次执行：

  1. 数据读取与预处理；
  2. OCV 曲线与 RC 参数辨识；
  3. 电池模型校准；
  4. 用户行为与负载场景生成；
  5. 确定性和蒙特卡洛 TTE 预测；
  6. 灵敏度分析；
  7. 论文图表与汇总报告生成。

主要目录如下：

2026MCM-ICMProblemA/
├── code/                         # Python、MATLAB 与仿真代码
│   ├── run_complete_workflow.py # 全流程入口
│   ├── model_development/       # 电池模型、EKF 等核心模块
│   └── paper_results/           # 生成的图表与结果
├── final/
│   ├── 2612876.tex              # 最终论文 LaTeX 源码
│   └── 2612876.pdf              # 最终论文
├── template/                    # 美赛论文模板
├── 数据/                         # 原始数据
└── 2026_MCM_Problem_A.pdf       # 赛题原文

由于 GitHub 单文件大小限制，仓库删除了部分超过 100 MB 的数据，因此完全复现时可能需要补充原始数据或调整数据路径。

十一、这一方案的优点与局限

优点

  • 满足题目对连续时间模型的硬性要求；
  • 将用户行为、电路、热和老化机制连接在同一框架中；
  • 每个变量都具有物理或行为含义，便于解释；
  • 能输出 TTE 分布，而不是只有单点预测；
  • 模块化程度较高，可替换功耗模型、电池参数和用户模型；
  • 可以自然扩展到平板电脑、手表、无人机等便携设备。

局限

  • 二阶 RC 模型仍是等效模型，不能完整描述电池内部电化学过程；
  • HMM 的状态转移概率依赖用户数据，不同人之间差异较大；
  • 热模型把电池视为温度均匀的整体，忽略局部热点；
  • 老化参数对电芯型号、充电策略和环境非常敏感；
  • 手机系统报告的 SOC、功率和温度本身可能存在偏差；
  • 仿真中的具体百分比不能脱离参数配置推广到所有设备。

因此，这套方案更适合作为一个可解释、可校准、可扩展的建模框架，而不是宣称已经得到适用于所有手机的唯一电池公式。

十二、相关文档

本文只对公开仓库中的建模路线进行梳理，不对竞赛奖项作推断。模型中的数值结果依赖数据、参数和场景设定，引用时应同时说明实验条件。

图片来源与许可

  1. Phrontis, Li-Ion batteries for mobile phones.jpg, Wikimedia Commons，CC BY-SA 3.0。
  2. Triv97, Second order equivalent circuit model for li-ion battery cell.png, Wikimedia Commons，CC0。
  3. Walter Davison, Lithium ion battery.png, Wikimedia Commons，CC BY-SA 4.0。